Suku banyak dan teorema sisa
Hal yang paling utama pada suku banyak adalah pembagian suku banyak P(x) oleh suatu suku Q(x) yang ditulis sebagai:P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)
Dengan H(x) menyatakan hasil bagi dan S(x) menyatakan sisa pembagian.
Untuk menentukan sisa pembagian, menggunakan teorema berikut:
- Dibagi (x - c) maka sisanya F(c).
- Dibagi (ax - b) maka sisanya F(b/a).
Contoh soal suku banyak - teorema sisa dan pembahasannya.
Nomor 1Untuk polinom P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1, maka nilai polinom untuk x = 1 adalah...
A. 2
B. 4
C. 5
D. 7
E. 9
Pembahasan
Ganti x = 1
P(1) = 13 + 3 . 12 + 2 . 1 + 1 = 7
Jawaban: D
Nomor 2
Sisa pembagian dari P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 - x - 1 oleh (x - 1) = ...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan
Pembagi (x - 1) maka sisa P(1)
P(1) = 14 + 3 . 13 + 2 . 12 - 1 - 1 = 4
Jawaban: D
Nomor 3
Sisa (x3 - 5x2 + 6x - 2) : (2x - 1) = ...
A. 3/8
B. 5/8
C. 7/8
D. 11/8
E. 15/8
Pembahasan
Pembagi (2x - 1) maka x = 1/2 sehingga sisa P(1/2).
P(1/2) = (1/2)3 - 8 (1/2)2 + 6 . 1/2 - 2 = 1/8 - 1/2 + 3 - 2 = 3/8 + 1 = 11/8
Jawaban: D
Nomor 4
Sisa pembagian dari 2x3 - x2 - x + p oleh (x + 1) adalah - 3, maka harga p yang memenuhi adalah ...
A. - 5
B. - 4
C. - 3
D. - 2
E. 0
Pembahasan.
Pembagi (x + 1) maka x = -1 sehingga sisa P(-1) = - 3
2(-1)3 - (-1)2 - (-1) + p = -3
- 2 + 1 + 1 + p = - 3
p = - 3
Jawaban: C
Nomor 5
Sisa pembagian x4 - 2x3 + x2 - 3x + 4 dibagi oleh x2 + 3x + 2 adalah...
A. 25x + 30
B. 20x + 20
C. 10x + 15
D.- 15x - 5
E. -35x - 24
Pembahasan
Faktorkan x2 + 3x + 2 hasilnya (x + 1) (x + 2)
Gunakan cara Horner (tulis suku banyak tanpa x)
1 -2 1 -3 4 ------(x + 1) ---> x = - 1
-1 3 -4 7
_______________+
1 -3 4 -7 11 (S1) -----(x + 2) ---> x = - 2
-2 10 -28
_______________+
1 -5 14 -35 (S2)
Maka sisanya = (s2) (P1) + S1 = - 35 (x + 1) + 11 = - 35x - 35 + 11
Sisa = - 35x - 24
Jawaban: E
Nomor 6
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x - 2 bersisa 11, dan jika dibagi oleh x + 1 sisanya -4. Suku banyak tersebut bila dibagi x2 - x - 2 = 0 bersisa..
A. x + 5
B. 5x + 1
C. x - 5
D. 5x - 1
E. 5x + 21
Pembahasan
Faktorkan x2 - x - 2 = 0 hasilnya (x - 2) (x + 1) dengan sisa ax + b
Pembagi (x - 2) sisanya 11 maka 2a + b = 11 .......(i)
Pembagi (x + 1) sisa - 4 maka -a + b = - 4 ..........(ii)
Eliminasi (i) dan (ii)
2a + b = 11
- a + b = - 4
____________-
3a = 15
a = 5 dan b = 1
Maka sisa ax + b = 5x + 1
Jawaban B
Nomor 7
Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak 4x3 - 2x2 + x - 1 dibagi oleh 2x2 + x + 1 berturut-turut adalah...
A. 2x - 1 dan x -1
B. 2x - 1 dan x + 1
C. 2x - 1 dan 2x - 1
D. 2x - 2 dan -x - 1
E. 2x - 2 dan x + 1
Pembahasan
Karena pembagi tidak bisa difaktorkan, gunakan cara biasa:
4x3 - 2x2 + x - 1 : 2x2 + x + 1 --> 2x
4x3 + 2x2 + 2x
______________-
- 4x2 - x - 1 ---> - 2
- 4x2 - 2x - 2
____________-
x + 1 (Sisa)
Sedangkan hasil baginya = 2x - 2
Jawaban: E